RESUMEN
Se presenta un análisis de documentos que abordan la didáctica de la
función exponencial. Si bien éstos poseen una riqueza inherente, se plantea la
opción de indagar sobre los puntos
centrales de estas propuestas, pensando en su planeación y gestión en el aula de
clase. Se examina y argumenta con parámetros tomados desde la matemática, la historia
y la epistemología de este concepto.
PRESENTACION
Uno de los objetivos de la investigación en didáctica de la matemática
es llegar a los docentes e impactar sus prácticas en el aula de clase; sin
embargo, dado que esta situación no siempre se presenta, existe la necesidad de
crear alternativas que ayuden en el logro de esta tarea, realizando selección de la literatura
existente, buscando superar obstáculos como cierto tecnicismo, abundancia de
literatura y acceso a ella, manejo de idioma extranjero, entre otros.
Con relación a la enseñanza y el aprendizaje de la función exponencial y
su impacto en la función logarítmica, se
han seleccionado algunos artículos a partir de los cuales se recogen valiosos
elementos a la hora de la gestión y planeación de esta temática.
Documento uno
En el escrito: An exponential function, is its
description not problematic?,
su autor, Radley, Mahlobo
(2004), plantea la dificultad de los
estudiantes frente a la denominación de
las funciones exponenciales y su impacto en relación con el desempeño al
aplicar las leyes de los logaritmos y el
contraste de esta denominación con la afirmación de que la función logarítmica es la inversa de
la exponencial.
Radley argumenta que como usualmente se da nombre a
una función según el conjunto imagen, de acuerdo a aquello que “produce” (pone
el ejemplo de la función Seno, la
cual es llamada así, no por el ángulo de entrada, variable independiente, sino
por su imagen), cuando el estudiante se encuentra con la denominación función exponencial, él puede esperar
que esta función produzca exponentes.
Contrario a ello, la explicación que se le presenta es que esta función es
llamada así por tener la variable independiente en el exponente. Esta
explicación no es consistente con la denominación de las funciones de la forma y = xb, b constante, las cuales tienen la variable independiente en la base
y a las cuales no se les llama función
base sino función potencia. Las
investigaciones relacionadas con el
aprendizaje de principios y/o conceptos muestran la necesidad de consistencia
en la presentación.
Se pregunta entonces Radley por las consecuencias que
puede tener en los estudiantes el describir la función y
= ax como una función
exponencial:
-
¿Acaban los estudiantes viendo una función exponencial
como una función que produce exponentes?
-
Ya que un logaritmo
es un exponente, ¿no se podría
esperar que vieran una función
logarítmica como una función
exponencial?
Lo anterior entra en conflicto con la afirmación: “la
función logarítmica es la inversa de la función exponencial”, la
cual sugiere que exponentes y logaritmos son conceptos diferentes. ¿Oscurece esta
diferenciación la habilidad del estudiante de ver un logaritmo como un
exponente? ¿Contribuye esta confusión al bajo desempeño de los estudiantes a la
hora de aplicar las leyes de los logaritmos?
¿Cómo renombrar entonces a las que llamamos funciones
exponenciales?
Propone el autor llamarlas con el mismo nombre que
acostumbramos para las funciones de la forma xb, b constante, es decir funciones potencia; para él esta denominación es consistente con el
proceso de inversión. Por ejemplo en el diagrama:
Entrada Coseno Salida
0° Cos
0° 1
Al aplicar el
proceso de inversión, el estudiante obtiene: Cos-1(1) = 0°
En el caso de los logaritmos:
Entrada Logaritmo Salida
100 Log100 2
Al realizar el proceso inverso en forma análoga, el
estudiante llegará a 100 que corresponde a la potencia y no al exponente.
Elementos para la lectura
Un foco que el lector debe abordar está en la denominación
y definición de la función exponencial y la definición de la función logarítmica
como la función inversa de la exponencial.
En este aspecto, recurriendo al desarrollo histórico y epistemológico de
dichas funciones cabe anotar que al remontarse a Torricelli (1608-1647) quien se abocó a
estudiar las características de una curva logarítmica; se observa que en realidad explora la curva que hoy conocemos
como exponencial. Eso se debe a que los matemáticos del siglo XVII denominaban
genéricamente curva logarítmica a aquellas que relacionan progresiones aritméticas
y geométricas, sin realizar la distinción que hoy utilizamos. (Ferrari, M.,
2001: 103). “No existe una distinción clara entre las funciones exponenciales y
logarítmicas, las cuales genéricamente eran tratadas como “logarítmicas” o
“logísticas”. (Ferrari, M., 2001: 132)
En coherencia con lo expuesto
anteriormente, el enfoque dado a la noción de logaritmo en libros del siglo
XVIII, tal como el de Agnesi, acorde con las ideas imperantes en la época, no
hace una distinción explícita entre las funciones exponencial y logarítmica tal
y como lo hacemos en la actualidad, sino que, presenta la “curva Logarítmica”
como aquella en la que las coordenadas se hallan relacionadas por progresiones
aritméticas y geométricas, es decir, aquella en la cual las abscisas se hallan
en progresión aritmética en tanto que las ordenadas responden a una progresión
geométrica. Esta definición corresponde actualmente a la función exponencial
(Ferrari. 2001: 162)
Es importante tener en cuenta que Euler (1707-1783) fue el primero que vio
en la logaritmación una de las dos operaciones inversas de la elevación de
potencias, con lo cual se hizo posible aplicar a los logaritmos procedimientos
algebraicos (Wieleitner, 1932). Así mismo, Euler, definió las funciones polinómicas, las trigonométricas y
las exponenciales; estas últimas como: Potencia de la cantidad constante a, que
tiene por exponente la variable z[1]
(Euler, p. 70).
Para añadir a continuación refiriéndose a las funciones
exponenciales: dado un valor afirmativo
cualquiera de y vendrá dado el valor de z conveniente para que sea az =
y; este valor de z. contemplado en cuanto función de y, suele llamarse
LOGARITMO de y. (Euler, p. 73)[2].
En su obra Euler introduce la función logarítmica como función inversa de la
exponencial (González, M., Vargas, J. 2007:142). También presenta una detallada clasificación
de las funciones que se resume en el
siguiente esquema.
De lo anterior
se desprende otro foco para la mirada del lector. Considerando las definiciones
actuales, desde la matemática, es claro que las funciones potencia son funciones
algebraicas, mientras que las funciones exponenciales y logarítmicas son
funciones trascendentes.
La función exponencial se puede
definir de distintas maneras; una, se hace en términos de la función
exponencial fundamental ex
expresada como una serie infinita
de potencias:
=
o como la
inversa de la función logaritmo natural:
o, en Hughes: decimos
que P es una función exponencial de t con base a si P= P0at,
donde Po es la cantidad inicial (cuando t=0) y a es el factor por el
cual P cambia cuando t se incrementa en 1.
Si a>1, tenemos un crecimiento
exponencial; 0<a<1, tenemos un decaimiento exponencial.
Mientras
que Una
función de potencia es aquella en la que la variable dependiente es
proporcional a una potencia de la variable independiente. Una función potencia tiene
la forma 
, donde k y p son constantes cualesquiera. (Hughes-Hallett and Gleason, et al. 2000: 28).
, donde k y p son constantes cualesquiera. (Hughes-Hallett and Gleason, et al. 2000: 28).
Documento dos
Otra característica a considerar
al estudiar la definición de función exponencial es la forma en que esta varía.
Este aspecto es planteado en el artículo
Tasa de cambio de funciones
exponenciales: una perspectiva desde el Precálculo de Brian Bradie (1998),
en el cual el autor afirma que está insatisfecho con las aplicaciones de las
funciones exponenciales que se presentan en los cursos de precalculo, dado que
en ellas se dan
algunas fórmulas sin explicar cómo aparecen y se pide simplemente a los
estudiantes que sustituyan en las fórmulas ciertos valores y hagan los cálculos
correspondientes. De esta manera, asegura el autor, no se promueve en los estudiantes la
habilidad para reconocer otros fenómenos en donde se usan las funciones exponenciales.
De allí que su propuesta consiste en una planeación para introducir en clase
unas funciones cuya tasa de cambio es proporcional al valor de la función.
Fenómenos como el crecimiento sin restricción de una
población o el decaimiento de una sustancia radiactiva son modelados por
funciones cuya razón de cambio es proporcional al valor de la función.
Su propuesta consiste en introducir en contextos de
movimiento la explicación de nociones de tasa de cambio promedio y tasa de
cambio instantáneo; luego propone a los
estudiantes una serie de ejercicios con funciones
representadas analíticamente, ejercicios que exigen la elaboración de tablas de
datos y examinar dichas nociones de tasa
de cambio. Al finalizar los
ejercicios numéricos se espera que concluyan que la tasa de cambio de
la función f(x) = cbx , c y b constantes, en x = x0, es proporcional a f(x0).
Finalmente presenta una hoja de aplicaciones en donde se le dice al
alumno que el recíproco de la conclusión anterior también es cierto (si la tasa
de cambio de f en x = x0 es proporcional a f(x0),
entonces f es de la forma f(x) = cbx, para algún b y c).
REFERENTES TEORICOS
Al apelar a la
historia de la matemática como un recurso
en la mirada al desarrollo socio
epistemológico de la función exponencial se hace uso de la pregunta planteada
por Martínez (2000), ¿Cuál fue la relación de la noción de exponente no natural
con la noción de función exponencial en la construcción social de ambas
nociones? Como respuesta el autor presenta en su tesis doctoral (2003) lo que
denomina mecanismos en el devenir del concepto de exponente y para ello
distingue las siguientes etapas:
Semántica geométrica: sólo son tratadas las cantidades
que representan una magnitud geométrica: longitud, área y volumen. Es por ello
que no existe la noción de exponente mayor a 3 ni la de exponente.
Primera
sintaxis algebraica: se deja de lado el significado geométrico quedando
solo la herencia en la forma de nombrar algunos exponentes.
Segunda sintaxis algebraica: la aceptación del
exponente cero y del exponente negativo.
Primera semántica de la cuadratura de las curvas:
índice de las curvas de Wallis.
Segunda semántica de la cuadratura de las curvas:
posición relativa del área.
El exponente como variable: la función exponencial.
En
su informe Martínez (2000) expone que el
resultado más importante de su
análisis reside en que los
exponentes no naturales emergieron como una convención o de consideraciones de
tipo meta matemático en dos escenarios:
“Al seno
del pensamiento algebraico con el objetivo de dotar de uniformidad a las
operaciones entre monomios y al seno del problema de cuadraturas, para dotar de
uniformidad a las fórmulas de áreas de las curvas de la forma xnym=k o xp=kyq (n, m,
p, q enteros positivos). Aun cuando dentro de este problema se conoció,
probablemente, la noción de exponentes no naturales que emergió dentro del
álgebra, su uso requirió de convenciones adicionales, como por ejemplo, la idea
de posición relativa de un área respecto a una ordenada hecha por Newton o la
distinción de diferentes tipos de infinitos debida a Wallis.
A lo anterior de acuerdo con este investigador, le
acompañó una etapa de ocasiones de uso dentro del pensamiento variacional que
permitió la total aceptación de la noción de exponente no natural: cálculo de
diferenciales y primitivas en el paradigma leibniziano, el cálculo de fluxiones
y momentos en el paradigma newtoniano y la construcción del binomio de Newton.
Estos factores ocasionaron que el universo de “curvas algebraicas” (con
fórmula) tuviera su centro en expresiones de la forma f(x)m/n donde
f(x) es un polinomio”. (Martínez, 2000: IX)
En el sentido anterior su análisis epistemológico da
cuenta de que la construcción de la noción de exponente no natural emergió como
un símbolo alternativo y eficaz para representar la relación más general, en
los momentos históricos en que sucedió tal construcción, existente entre dos
variables; xnym=k o xp=kyq (n, m,
p, q enteros positivos) y que el uso de las convenciones dentro de la expresión
y=ax,
sólo ocurrió cuando la función fue concebida como una fórmula en el sentido de
Euler.
ETAPAS DEL DESARROLLO DE LA PROPUESTA
Se parte de las inquietudes alrededor de la temática de funciones
logarítmicas y exponenciales.
Se procede a la detección, obtención y consulta de la literatura sobre
enseñanza y aprendizaje de dichas funciones.
Se seleccionan dos artículos cuyos énfasis se entrelazan y
enriquecen.
Se plantean algunos elementos
desde la matemática y el desarrollo histórico-epistemológico de los conceptos,
como focos para lectura de los documentos
y posterior uso en etapas de programación y puesta en escena de una
clase de matemáticas.
OBSERVACIONES
El llamado sobre las dificultades
que pueden ir inherentes en la forma de nombrar la función exponencial permite invitar
al docente a indagar en el desarrollo de sus clases sobre este aspecto, o por
lo menos tener presente en su preparación y gestión, que allí se está
presentando un cambio en los convenios establecidos.
La intención de Bradie; promover en los estudiantes la habilidad para
reconocer otros fenómenos en donde se usan las funciones exponenciales, no se
desarrolla en su propuesta, mas bien se plantean pasos en donde desde lo
algebraico se examinan funciones cuya razón de cambio tienen una característica
especifica y luego se da un salto esperando que el estudiante pueda examinar
los fenómenos con este conocimiento construido.
¿Es posible abordar la función exponencial como aquella función en
donde si para cualquier sucesión xn,
que esté en progresión aritmética, los correspondientes yn, están en
progresión geométrica, entonces y es una función exponencial de x?
La comprensión de los estudiantes alrededor de la función lineal, en cuanto a la forma
como la variación es proporcional puede
generar habilidades en los estudiantes para luego explorar en la función
exponencial la variación proporcional al valor funcional.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Euler, L.: Introductio in Analysin infinitorum Lausanne: Marcum Michaelem Bousquet y socios,
(Edición facsimil editada por SAEM: Thales y la Real Sociedad
Matemática española), 1748.
Ferrari, M. 2001. Una visión socioepistemológica. Estudio
de la función logarítmica. Tesis de maestría inédita. México. Departamento de
Matemática Educativa.
Hughes-Hallett, D. and Gleason, A. et al. 2000. Cálculo. Segunda Edición.
Martínez, G. (2000): Hacia una explicación sistémica de los fenómenos didácticos. El caso de
las convenciones en el tratamiento de los exponentes no naturales. Tesis de
maestría inédita. México. Departamento de Matemática Educativa.
Martínez,
G. (2003): Caracterización de la convención matemática
como un mecanismo de construcción de conocimiento. El caso de su funcionamiento
en los exponentes. Tesis
doctoral inédita. México. Departamento de Matemática Educativa.
González, M., Vargas, J. (2007). Segmentos
de la historia: la función logarítmica. Matemáticas: Enseñanza
Universitaria.
Wieleitner, H.: Historia de las Matemáticas, Editorial Labor,
S.A., Barcelona, 193
AUTORES – PONENTES
Jeannette Vargas Hernández. Aspirante al título de doctor en Educación Matemática.
Universidad de Salamanca España. Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca
Mario Ernesto Pérez Ruiz.
Magíster en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica. Universidad
Jorge Tadeo Lozano de Bogotá
