Jeannette Vargas Hernández
Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca
María Teresa González Astudillo
Universidad de Salamanca
Salvador Llinares Ciscar
Universidad de Alicante
RESUMEN
A partir de la noción de modelación de la descomposición genética de un concepto se ha realizado una investigación sobre la práctica del docente universitario de precálculo cuando enseña las funciones exponenciales. En el taller se pretende reflexionar sobre la coherencia del marco teórico, la metodología y el análisis llevados a término. Para ello, después de una exposición inicial, los asistentes discutieron acerca de una clasificación previamente realizada de algunos episodios de clase que se han asociado a ciertos mecanismos de construcción que el profesor pretende potenciar en su práctica profesional. Finalmente se hace una puesta en común de lo discutido en diferentes grupos y se plantean algunas sugerencias y comentarios sobre la investigación realizada.
ABSTRACT
From the notion of modeling the genetic decomposition of a concept a research has been made about the precalculus university teacher practice when teaches exponential functions. This workshop aims to consider the consistency of the framework, the methodology and the analysis that has been made. For this, after an initial explanation, the participants discussed about a classification previously made over few class episodes associated with certain mechanism of construction the teacher tries to promote in his practice. Finally a discussion about the work in each group and some suggestions and comments about the research was posed.
INTRODUCCIÓN
El taller se ha centrado en una investigación que se está realizando en torno a la enseñanza de la función exponencial en el nivel universitario. En ella se trata de responder a las preguntas: ¿Cómo modelan los profesores de precálculo, en su práctica docente, los mecanismos de construcción del concepto de función exponencial? y ¿Cuáles son las características que subyacen a las prácticas analizadas?
Para ello, a partir de una descomposición genética del concepto función exponencial realizada usando el marco teórico APOS (Dubinsky, 1991), se describe y analiza la práctica de los docentes integrando el constructo de modelación de descomposición genética (Gavilán, 2005/2010). De esta forma se logra identificar cómo usa y justifica el docente los modos de representación simbólica y gráfica así como las relaciones que establece entre los elementos matemáticos (Sánchez-Matamoros, 2004), del concepto función exponencial.
Los dos profesores (Ernesto y Arturo, pseudónimos) que participaron en esta investigación pertenecen a dos universidades colombianas, una de carácter privado y la otra de carácter público, ambas ubicadas en la ciudad de Bogotá. Se les propuso, colaborar en ella para poder analizar la enseñanza de las funciones exponenciales en la asignatura de Precálculo y ambos aceptaron participar en el estudio. No se realizó ningún tipo de selección, más bien, la proximidad con el investigador, las circunstancias laborales de cada uno y sus intereses personales favorecieron una disponibilidad de tiempo y de acceso a sus aulas, así como la colaboración para compartir sus ideas concernientes a su labor diaria de enseñanza de las matemáticas.
Para la recogida de datos se realizó una entrevista inicial sobre la formación de los profesores, sus concepciones acerca de la enseñanza aprendizaje de las matemáticas y su planificación de las sesiones correspondientes a la enseñanza de la función exponencial. Se realizó grabación de voz y video de todas las clases en las cuales el profesor aborda la enseñanza de la función exponencial y se llevan a cabo entrevistas semiestructuradas estructuradas posteriores a cada sesión clase, para contrastar la percepción del investigador en cuanto a los momentos en que el profesor propicia cada mecanismo de construcción.
Se procedió a un análisis descriptivo de datos y dos niveles de análisis inferencial y progresivo que permitieron establecer dos modelaciones de la descomposición genética de la función exponencial de cada uno de los docentes.
CONTEXTO, PARTICIPANTES Y MÉTODOS
La descomposición genética del concepto de función exponencial (Vargas et al, 2011) se ha construido partiendo de los presupuestos del marco teórico APOS (Dubinsky, 1991), de un estudio histórico del concepto de función exponencial (Vargas et al, 2010), así como de los informes de investigaciones en el ámbito de la Educación Matemática.
Esa descomposición se emplea en el estudio de casos de dos docentes universitarios que imparten una asignatura de precálculo en Colombia. Los instrumentos utilizados para la recogida de datos de cada sesión de aula fueron: una entrevista inicial, una audio-video grabación de las sesiones correspondientes a la enseñanza de la función exponencial y una entrevista final para cada sesión de contraste entre el investigador y el docente. Los videos, junto con las grabaciones de voz tanto de las clases como de las entrevistas, fueron transcritos en su totalidad e incorporados a la unidad hermenéutica del software Atlas.TI.
Con el constructo modelación de la descomposición genética se ha realizado un análisis de la práctica para inferir lo que subyace a la práctica de estos dos profesores universitarios de precálculo.
En la primera fase del análisis se identificaron aquellos segmentos de cada sesión de aula en los que se modela un determinado mecanismo de construcción. Posteriormente, en la segunda fase del análisis, se rehízo la clase de cada docente reagrupando los segmentos en torno a un mecanismo que el profesor esté propiciando. Los resultados de esta descripción se presentan a través de “viñetas” consideradas como un informe de la práctica del profesor (Gavilán, et al. 2007) incluyendo la inferencia realizada por los investigadores sobre la modelación de dicho mecanismo. La síntesis realizada en función de los mecanismos de construcción permitió establecer la modelación de la descomposición genética de cada profesor. Un tercer nivel de análisis que nos permitió establecer la perspectiva de la práctica de los docentes.
En el análisis de la práctica de los docentes han intervenido dos nociones la modelación de la descomposición genética y la perspectiva de la práctica del docente.
La modelación de un mecanismo de construcción que “es una forma de dar significado, desde la perspectiva de los investigadores, a las acciones del profesor, a sus decisiones sobre qué problemas utilizar, a cómo gestiona el contenido matemático en el aula y a las justificaciones que proporciona” (Gavilán et al., 2007, p. 160) y la “modelación de la descomposición genética de un concepto o noción matemática” (Gavilán et al., 2007, p. 9) que nos permite hablar de las características de la práctica del profesor que favorecen los procesos de construcción potencial del conocimiento en los estudiantes junto con la justificación de dichas características.
La perspectiva de la práctica del docente se refiere a las inferencias que hace el investigador sobre lo que subyace a la enseñanza del profesor. Una propuesta para inferir la perspectiva de la práctica de profesor es caracterizarla a través de dos dimensiones: la concepción del profesor sobre el aprendizaje de las matemáticas y su concepción sobre las matemáticas escolares (Simon, et al. 2000).
Todo esto se realiza bajo la consideración de que ser profesor de matemáticas «debería ser entendido desde la perspectiva de participar en una práctica social: enseñar matemáticas. La práctica profesional del profesor se ve como el conjunto de actividades que genera cuando realiza las tareas que definen la enseñanza de las matemáticas y la justificación dada por el profesor. En este sentido la práctica del profesor no está inscrita únicamente en lo que sucede en el aula, sino que se conceptualiza desde una perspectiva más amplia, comunidad de práctica profesional en la que se incluyen tareas como tutorías, reuniones de seminario-departamento, asistencia a actividades de formación, etc.» (Llinares, 2000, p.110).
OBJETIVOS Y DESARROLLO DEL TALLER
Los objetivos del taller fueron:
· Presentar una síntesis de la investigación realizada alrededor del constructo modelación de la descomposición genética utilizado para el análisis de la práctica de dos profesores universitarios de precálculo.
· Recibir retroalimentación sobre las clasificaciones de los segmentos de clase ya realizadas en donde se identifican los mecanismos de construcción que el profesor potencia, logrando de esta manera la integración de los participantes en el proceso de análisis de los datos.
Los participantes en el evento se dividieron en dos grupos a cada uno de los cuales se asignó uno de los docentes analizados. Se seleccionaron, previamente, dos episodios de clases que han sido transcritas y seccionadas en segmentos por los investigadores. Se revisaron dichos segmentos, clasificados de acuerdo con los mecanismos de construcción establecidos desde la teoría APOS y concretados en la descomposición genética de la función exponencial. Se procede con las indicaciones que a continuación se detallan. Junto con dicho documento se les entregó una síntesis de la investigación realizada que fue explicada durante el taller. A dicha explicación siguió un debate sobre cuestiones que no habían quedado suficientemente claras o que necesitaban una explicación con mayor nivel de profundización.
Los asistentes debían
1. Identificar los segmentos y confirmar o no la clasificación previamente elaborada.
2. Con esta identificación de mecanismos de construcción establecer algunas inferencias sobre las creencias y concepciones del profesor acerca de la enseñanza-aprendizaje de la función exponencial.
Un ejemplo de un episodio de una de las clases, con la cual se realizó el taller, es el siguiente que corresponde a la primera clase de uno de los casos. En él, el profesor trata que los estudiantes construyan la función exponencial y=2x utilizando para ello una actividad consistente en ir doblando a la mitad sucesivamente una hoja de papel.
P. Pensemos en lo siguiente, cojamos una hoja y la vamos a doblar y me van a decir cuántas veces alcanzan a doblarla por la mitad, la mitad, la mitad, la mitad, hasta que físicamente la puedan doblar. Una hoja por cada grupo y me dicen cuántas veces la pueden doblar.
E. Depende del tamaño.
P. Claro, va a depender del tamaño, pero uno puede decir….- dirigiéndose al grupo- ¿cuántos dobleces llevan?
E. ya no pueden continuar -
P. -tomando el papel del ejercicio- cuantos dobleces llevan
E. Siete
P. Fíjense que se volvió prácticamente imposible de continuar, y vean el grosor en el que ya va. Aproximadamente cuánto lleva de grosor, cuánto le calculan a eso.
E. Cinco
P. Por ahí un centímetro, yo creo que menos. Si uno lo pudiera hacer doblando muy bien, la idea es que uno podría ver que tan grueso le quedaría. De qué otra manera lo puede hacer, cuántas veces le está añadiendo al grueso? Mejor dicho, ¿cuántas veces lo hiciste?
E. Siete veces
P. Ella lo hizo 7 veces, es decir que eso equivale a colocar ¿cuántas hojas una encima de la otra. Hagan de cuenta que yo quisiera ver cuántas hojas colocaría una encima de la otra. ¿Cuántas hojas quedarían una encima de otra.
E. Muchas.
P. Muchas, ¿cuántas?
E. Setenta
P. No. Volvamos otra vez. -toma la hoja-. Primer doblez. ¿El primer doblez, equivale a colocar cuántas hojas una encima de otra?
E. Dos
P. Segundo doblez -lo va haciendo con la hoja- ¿cuántas hojas?
E. Cuatro.
P. Tercer doblez
E. Ocho
P. Cuarto doblez
E. Diez y seis
P. Diez y seis, quinto doblez.
E. Treinta y dos
P. Sexto doblez
E. Sesenta y cuatro.
P. Y el otro, quedarían ¿cuántas?
E. Ciento veintiocho y ocho
P. O sea, esta que ya no puedo doblar, sería 128. Hagamos una tablita donde se muestre eso -en el tablero dibuja y va hablando- a ver doblez número, equivale a que grosor dos el segundo cuatro, ¿el tercero cuánto fue?
E. Ocho
P. Cuarto diez y seis, quinto treinta y dos -escribe puntos sucesivos y dice - yo voy a pegar aquí un brinco, un salto.
P. Un salto. Por ejemplo al doblez número 10. ¿Quién me dice como conseguir el resultado sin necesidad de ir de uno en uno?
E. Mil veinticuatro
P. Da 1.024, pero de que otra manera, supongamos que yo le digo a Juan Camilo que no es diez sino el número 25, si usted va a ser dos por dos por dos por dos. ¿Quién me dice como consigo el resultado?
E. Diez a la
P. Esto que está acá viene siendo las potencias de dos, esto es dos a la cero, esto es dos a la uno, doblez tres dos a la tres, doblez cuatro dos a la cuatro, y así. -el profesor completa la tabla en el tablero-
P. De manera que en el doblez 10 ¿sería dos a la…?
E. Diez
P. Busquemos en la calculadora a ver cuanto es dos a la diez.
E. Mil veinticuatro
P. 1.024 -escribe en la tabla-
P. ¿Cuánto creen que sea el grueso de una hoja de esas de cuaderno?, ¿Cómo haría yo para saber?, ¿Quién me ayuda a averiguar? Supongamos que yo quiero saber el grueso de esta hoja. ¿Qué se ingeniarían ustedes para decirme como lo medirían? Yo quiero medir el grueso de esto pero por supuesto es muy poco y si cojo una regla me queda muy difícil apreciar el grueso de una sola. Entonces que hago
E. Acumulo hojas
Ernesto, junto con los estudiantes, van obteniendo las sucesivas potencias de dos resultantes de las dobleces del papel y conduce a los estudiantes a conjeturar sobre el exponente apropiado en cada caso y sobre las dobleces obtenidas en pasos posteriores utilizando la función exponencial, dado que no se pueden obtener físicamente con el papel. Estas reflexiones, suscitadas alrededor del proceso de iteración y uso de los exponentes, corresponden a la modelización del mecanismo de interiorización de una función exponencial con base mayor que uno que había sido identificada en la descomposición genética de la siguiente forma:
· Interiorización de las iteraciones correspondientes a elevar una base fija cuando se varía el exponente, considerando de forma separada los casos en que la base es mayor que uno o cuando tiene un valor entre cero y uno.
La tarea de dobleces del papel (Diagrama 1) propicia preguntas cómo, por ejemplo, ¿quién me dice cómo conseguir el resultado sin necesidad de ir de uno en uno? que conducen a reflexionar sobre las acciones correspondientes a repetir una serie de pasos un cierto número de veces. En este caso se trata de la multiplicación de dos por dos, luego otro dos y así sucesivamente. Esta multiplicación de factores iguales se puede expresar mediante el uso de exponentes naturales para representar dicho fenómeno.
De manera similar se presentó un episodio de la primera clase del caso dos, en donde el docente presenta la función exponencial como un objeto.
P: Cualquier número real, entonces x pertenece a los números reales.
E: Porque como se multiplica por él mismo, entonces o sea si el exponente sería dos, entonces uno por dos…
P: No, póngame cuidado a lo que pregunto, le estoy preguntando por qué aparece b diferente de uno. Le pregunto lo contrario, cierto, para poder explicarme le pregunto lo contrario, qué pasaría si b valiera uno. Cómo quedaría la ecuación.
E: Siempre daría uno.
P: Uno, no cierto, nos daría una función constante que pues no es tan importante. Nos quedaría f de x igual a uno porque uno elevado a cualquier potencia es uno. Por lo tanto esa no es muy interesante porque es una línea recta y igual a uno paralela al eje x. Bueno, entonces por eso nos ponen estas restricciones. Bien, ¿y por qué será que la base tiene que ser mayor que cero?
E. Por lo mismo. Porque da uno. Porque cero elevado a cualquier cosa da…
P: No, ya es otra cosa, ya es otro análisis. La base por qué nos pide que sea mayor que cero.
E: Porque para que sea una función tiene que ir, o sea tiene que tomar algún valor, o sea que ascienda o descienda.
P: Entonces debemos preguntarnos lo contrario no cierto. ¿Qué pasa si fuera negativo? Fíjense qué es.
E. Nos daría un número complejo.
P. Le daría un número complejo en qué casos ¿Siempre?
E: Siempre que el exponente fuera impar. Porque si fuera par y no es negativa sería entero.
P: Bueno, que fuera un número entero par o impar y eso nos daría negativo, nos daría un número complejo, o fraccionario - refiriéndose al exponente - más bien.
E: Fraccionario.
P: Fraccionario pero fraccionario con denominador par, no cierto, porque no existen las raíces de números negativos con índice par, nos daría un número complejo, saldríamos del campo de trabajo que son los números reales. Bien, entonces por eso nos ponen esas restricciones aquí, para que siempre tenga valor. Bien, ¿cuál es del dominio de esta función?
E: Los números reales.
P: Los números reales. ¿Y cómo sabe uno?
E: Porque todos los valores que puede tomar…
P: ¿Quién?
E: Que puede tomar x.
P: x. Y aquí nos está diciendo que x es cualquier número real, no cierto. Por lo tanto el dominio, este exponente es cualquier número real, puede ser positivo, puede ser negativo, puede ser cero, puede ser fraccionario, puede ser decimal, cualquier número real. Bien, ¿y el rango qué sería?
E: Los números reales positivos.
P: ¿Los números reales positivos? ¿Por qué reales positivos? ¿Cómo sabe uno?
E: Vendrían siendo los valores de y.
P: Los valores que puede tomar aquí la f de x que es nuestra y, ¿no cierto? ¿Cómo sabe uno que son los reales positivos? ¿Esto puede dar en algún momento negativo? -señala la formula de la función en el tablero -
E: No.
P: ¿Por qué no? Porque si la base es positiva, no cierto, nos dijeron que era mayor que cero, si esto es positivo, no importa el exponente que tengamos. El exponente puede ser negativo, o puede ser positivo, o cero, cualquier número. Y una potencia elevada a un exponente negativo, ¿qué es? ¿Es un número positivo o negativo?
E: Positivo.
P: Positivo, recuerdan que simplemente nos queda uno sobre la misma potencia con exponente positivo, entonces simplemente es un número pequeño pero no es un número negativo.
E: ¿Entonces el rango vendría siendo determinado por la base en una función exponencial?
P: Pues aquí nos va a servir para poderlo determinar. Fíjense que si la base es positiva, no importa el exponente. Siempre nos va a dar positivo. Porque la única forma de que dé negativo esa potencia es que la base fuera negativa y teniendo un exponente determinado impar. Base negativa, exponente impar. Bueno, bien, entonces fíjense que de ahí sale el rango. Bien, ¿qué otra característica presenta esta función? ¿Qué otras características presenta? Mirémoslas todas y luego vamos a mirar cómo se grafica y qué aplicaciones tiene. ¿Qué otras características presenta?
E: Pues que va a ser creciente, ¿no?
P: ¿Siempre es creciente?
E: No necesariamente. Una función exponencial también puede ser decreciente.
P: Ah, bueno. Entonces no todas, es decir, ¿qué se requiere para que sea creciente?
E: Que la base sea positiva.
E: Si b es mayor que uno, la función es creciente.
E: Sí.
P: ¿Así será creciente?
E: Sí señor.
P: ¿Cómo sabe uno que es creciente o no es creciente?
P: Cuando a medida que aumenta x, la y también aumenta o a medida que x disminuya, la y también disminuye, esa es una función creciente. Entonces la condición para que nos dé en esta forma es que la, ¿qué condición es?
E: Que b sea mayor que uno.
P: b mayor que uno. Entonces es creciente. Bien. ¿Y para que sea decreciente?
E. Si cero es menor que b y menor que uno y b es menor que uno la función es decreciente.
P: Entonces viene así, no cierto. Entonces es decreciente. Decreciente. ¿En este caso, la b es qué? ¿Mayor que cero y menor que uno?
P: Así, no cierto. Cero menor que b y b menor que uno. O sea que la b está entre cero y uno, no cierto. Entre cero y uno.
E: ¿Se denomina creciente la función que ambas variables suban o disminuyen su valor?
P: Sí, están en proporción. Cuando una aumenta, la otra también aumenta. Es creciente cuando eso. Y decreciente cuando, aquí pasa lo contrario, cuando una aumenta, la otra disminuye, no cierto, su valor. Cuando aumenta x, la y disminuye. Entonces es decreciente. Entonces esas son las dos formas básicas, esas dos que tenemos ahí son las formas básicas de la función exponencial que estamos analizando: creciente o decreciente. Bien, ¿alguna otra característica? ¿Cuál es su intersección siempre con el eje y? ¿Cuánto vale?
E: Cero punto uno.
P: Cero uno, no cierto. Cero uno. ¿Por qué será que siempre cero uno? Para esta forma básica que tenemos aquí. Porque si la base es un número, qué numero es en la base, un número mayor que cero, no cierto, y elevado a una potencia que es un número real. Si fuera, si el x vale cero, qué pasa, me queda un número elevado a potencia cero y todo número elevado a potencia cero, ¿cuánto vale?
E: Uno.
P: Uno, no cierto. Vale uno, excepto cero, porque cero a la cero no está definido, pero cualquier otro número elevado a potencia cero nos da uno. Bueno, entonces esa es otra característica, que este punto de intersección es cero uno. ¿Qué otra característica importante tiene? ¿Cuál es la intersección con el eje x?
E: No existe.
P: No tiene, no cierto. No tiene intersección con el eje x. ¿Qué es lo que pasa con el eje x en la gráfica?
E: Se acerca mucho. Se puede tener pero siempre va a quedar en infinito y nunca va a tocar el eje x.
P: Bueno, entonces ahí se va acercando pero nunca va a tocar el eje x. Entonces el eje x sirve como de límite de la función hacia abajo. Esto se llama una asíntota horizontal. La recta y igual a cero, que es el eje x, es una asíntota, nos sirve como de límite de la función hacia abajo. Bueno.
E: No tiene ceros, es decir que no tiene corte en el eje x -leyendo en sus apuntes-.
P: Sí. Las intersecciones con el eje x serían: las raíces o las soluciones de la ecuación, igualando la ecuación a cero. Bueno, la gráfica. ¿Cómo es la gráfica? Ya tenemos una forma ahí pero vamos a hacer una gráfica. ¿Qué se requiere para hacer la gráfica de una función exponencial? ¿Qué es lo primero que se le ocurre a uno hacer?
Como se puede ver, en este caso, la práctica de Arturo se caracteriza por el uso casi exclusivo del discurso expositivo. Se presenta el concepto función exponencial como un objeto sin que se modele el mecanismo de encapsulación de la función exponencial.
Al tener cada grupo, del taller, las transcripciones de dos prácticas diferentes generaron matices, sobre los análisis de las construcciones que se están propiciando de un mismo concepto.
DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES.
Se abordan inicialmente las observaciones de cada uno de los grupos acerca de cada uno de los dos estudios de caso. Esta discusión se centró sobre las clasificaciones efectuadas de los segmentos, asociándolos a ciertos mecanismos de construcción aportados desde la teoría APOS. Los participantes estuvieron de acuerdo en la clasificación previamente realizada.
Se centra la discusión en el uso de la descomposición genética del concepto función exponencial como una teoría cognitiva y la necesidad de establecer diferencias entre el uso de esta y la noción de modelación de la descomposición genética.
Los investigadores concluimos la importancia de establecer, en la memoria de la tesis, explícitamente tres aspectos:
1. El profesor no “construye las formas de conocer de los conceptos”, sino que pone los medios —crea el contexto— para que sus estudiantes construyan los significados y desarrollen los mecanismos de construcción pretendidos. Éste es el motivo por el que intentamos describir la manera en la que el profesor “modela mecanismos de construcción de conocimiento” (Gavilán et al., 2007, p. 10).
2. Nuestra investigación no tiene como objetivo identificar unas determinadas prácticas que aseguren que los estudiantes aprenderán de una determinada manera, sino comprender por qué un profesor se comporta de la manera en que lo hace y qué influye en las decisiones que toma, analizando para ello las prácticas de los docentes universitarios de precálculo y, al mismo tiempo,
3. La idea de que con esta investigación se pretendió examinar la capacidad explicativa de la noción modelación de la descomposición genética, al ser extendida a otros conceptos distintos del concepto de derivada con el que fue inicialmente puesta a prueba (Gavilán, 2005/2010) y en contextos distintos de los que fueron su origen.
Referencias
Dubinsky, E. (1991). Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking, En D. Tall. (Ed.). Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht
Gavilán, J.M. (2005/2010) El papel del profesor en la enseñanza de la derivada. Análisis desde una perspectiva cognitiva. Tesis doctoral. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla. Publicada en 2010 por Edición Digital @tres, S.L.L.
Gavilán, J.M., García, M; Llinares, S. (2007). Una perspectiva para el análisis de la práctica del profesor de matemáticas. Implicaciones metodológicas. Enseñanza de las Ciencias, 25 (2), pp. 157–170
Llinares, S. (2000). Comprendiendo la práctica del profesor de matemáticas. En J.P. Ponte y L. Sarrazina (eds.) Educaçao Matemática em Portugal, Espanha e Italia, Actas da Escola de Verao-1999, Lisboa, Sección de Educación Matemática Sociedad Portuguesa de Ciencias de la Educación/Sociedad de Educación y Matemática, 109-132.
Sánchez-Matamoros, G. M. (2004). Análisis de la Comprensión en los Alumnos de Bachillerato y Primer año de Universidad sobre la Noción de Derivada (desarrollo del concepto). Tesis Doctoral. Universidad de Sevilla. España.
Simon, et al. (2000). Characterizing a Perspective Underlying the Practice of Mathematics Teachers in Transition. Journal for Research in Mathematics Education, 31 pp. 579-601
Vargas, J. González, M.T., Llinares, S., (2010). Historia de la Función exponencial en un Proceso de elaboración de descomposición genética. En la Tercera Escuela Nacional de Historia y Educación Matemática ENHEM. Universidad del Valle. Colombia.
Vargas, J., González, M.T., Llinares, S. (2011). Descomposición genética de la función exponencial: mecanismos de construcción. XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática. Disponible el 23 de marzo de 2011: http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/1292.pdf
